♣ استدلال: یعنی دلیل اوردن واستفاده از دانسته های قبلی ، برای معلوم کردن موضوعی که از ابتدا مجهول بوده است 

به استدلالی که موضوع مورد نظر را به درستی نتیجه بدهد ، اثبات میگوییم 

مثال نقض : اگر بخواهیم یک عبارت را رد کنیم از مثال نقض استفاده میکنیم 

◊ همه اعداد اول فرد هستند ؟      مثال نقض ←  خیر ، عدد 2 هم اول است هم زوج 

◊ محل برخورد ارتفاعات یک مثلث درون مثلث است ؟     مثال نقض ←  خیر ، در مثلث قائم الزاویه ارتفاع ها هم دیگر را در راس قائمه قطع می کنند 

◊ محل برخورد عمود منصف های یک مثلث همواره درون مثلث است ؟    مثال نقض ← خیر ، در مثلث قائم الزاویه عمود منصف ها یکدیگر را روی وتر قطع میکنند

◊ تمام اشکال هندسی گوشه یا زاویه دارند ؟   مثال نقض ← خیر ، دایره یک شکل هندسی است که گوشه و زاویه ندارد 

♦ فرض : اطلاعات مسئله و حقایق و اصولی که درستی آنها از قبل برای ما معلوم شده است

♦ حکم : خواسته ی مسئله از ما

♦ تعمیم : وقتی خاصیتی را برای یک عضو از یک مجموعه ثابت کردیم اگر تمام ویژگی هایی که در استدلال خود به کار برده ایم ، در سایر عضوی های آن مجموعه نیز باشد . میتوان درستی نتیجه را به همه عضو های ان مجموعه تعمیم داد .

♥ ویژگی عمود منصف یک پاره خط 

 هر نقطه روی عمود منصف پاره خط از دو سر پاره خط به یک فاصله  است 

هم نهشتی مثلث ها : 

دو مثلث به سه حالت هم نهشت هستند :

الف) دو ضلع مساوی و زاویه بین مساوی (ض ز ض)

ب) دو زاویه مساوی و ضلع بین مساوی (ز ض ز)

ج) سه ضلع مساوی (ض ض ض) 

هم نهشتی دو مثلث قائم الزاویه ( در حالت های خاص ) :

الف) وتر و یک زاویه ی تند (و ز)

ب) وتر و یک ضلع (و ض)

نکاتی راجب هم نهشتی مثلث ها

 نکته ← حالت ( ز ز ز ) جزو حالت های هم نهشتی دو مثلث نیست .

نکته ← اگردو مثلث به هم چسبیده باشند دارای ضلع مشترک هستند .

نکته ← اگر دو مثلث به صورت ضربدری باشند دارای زاویه متقابل به راس هستند .

نکته ← اگر دو مثلث داخل دایره باشند از برابری شعاع دایره استفاده میکنیم .

نکته ← در مثلث های متساوی الاضلاع هر سه ضلع و هر سه زاویه باهم برابر هستند .

نکته ← درمثلث های متساوی الساقین دو ساق و دو زاویه ی مجاور قاعده برابر هستند .

نکته ← در دو مثلث هم نهشت اضلاع و زاویه های متناظر باهم برابر هستند .

◊قدم های حل مسئله 

1) صورت مسئله را به دقت بخوانید و مفاهیم تشکیل دهنده آن را بشناسید. 

2) اگر مسئله فاقد شکل بود ، با توجه به صورت مسئله یک شکل مناسب برای آن رسم کنیم .

3) داده های مسئله (فرض) و خواسته آن (حکم ) را تشخیص دهید و در یک جدول بنویسید .

4) برای رسیدن از فرض به حکم ، راه حل مناسبی پیدا کنید

♦ متشابه : هر گاه در دو چند ضلعی همه ضلع ها به یک نسبت تغییر کرده باشد(کوچک یا بزرگ شده ، یا بدون تغییر باشد ) و اندازه زاویه ها تغییر نکرده باشد، آن دو چند ضلعی باهم متشابه هستند 

نکاتی راجب تشابه 

نکته ← نسبت اضلاع متناظر دو شکل متشابه را نسبت تشابه می گویند

نکته ← دو مربع دلخواه همواره باهم متشابه هستند 

نکته ← دو مثلث متساوی الاضلاع همواره متشابه هستند 

نکته ← دو مستطیل  داخواه همواره متشابه نیست ( چون ممکن است اضلاع به یک اندازه تغییر نکرده باشد )

نکته ←  دو مستطیل دلخواه در صورتی متشابه هستند که نسبت طول ها با نسبت عرض ها برابر باشند .

نکته ← دو لوزی دلخواه همواره متشابه نیست ( چون ممکن است زاویه ها دو به دو برابر نباشند )

نکته ← دو لوزی در صورتی متشابه هستند که زاویه های برابر داشته باشند .

نکته ← دو شکل هم نهشت همواره متشابه و نسبت تشابه آن ها عدد یک است

نکته ← به طور کلی هر دو چند ضلعی منتظم دلخواه که تعداد اضلاع آنها برابر باشد متشابه هستند 

سه نکته در دو مثلث متشابه 

الف) نسبت محیط و ارتفاع و نیمساز و میانه با نسبت تشابه برابراست

ب) نسبت مساحت با مجذور نسبت تشابه برابر است

ج) نسبت محیط در مثلث های متشابه با نسبت تشابه برابر است 

سوالاتی از قسمت اثبات و استدلال

1- در مسئله فرض و حکم را مشخص کنید؟

♦ "زاویه های روبه رو مستطیل برابرند "

فرض : خواص مستطیل   

حکم : برابر بودن زاویه های رو به رو

♦ " طول دو مماس در دایره همواره برابرند "

 فرض : دایره و عمودی بودن خط مماس بر شعاع 

حکم : برابر بودن دو مماس

2- " ثابت کنید زاویه های متقابل به راس با هم برابرند ."

3- "ثابت کنید زاویه ی خارجی مثلث برابر است با مجموع دو زاویه ی داخلی غیر مجاور آن "

سوالاتی از قسمت هم نهشتی

1- "نشان دهید طول دو مماس رسم شده از نقطه خارج دایره با هم برابر هستند "

سوالاتی از قسمت تشابه 

1- آیا دو مثلث متساوی الاضلاع دلخواه باهم متشابه هستند ؟

بله ؛ زیرا زاویه ها باهم برابرند و ضلع ها به یک نسبت تغییر کرده است

2- آیا هر دو مثلث متساوی الساقین باهم متشابه اند ؟

خیر ؛ زیرا زاویه ها باهم برابر نیستند .

3-آیا هر دو شکل هم نهشت باهم ، متشابه نیز هستند ؟ 

 بله ، زیرا زاویه ها باهم برابرهستند و اضلاع به یک نسبت تغییر کرده اند .

4-آیا هر دو مستطیل دلخواه متشابه اند؟

خیر،چون ممکن است ضلع ها متناسب نباشد.

و حالا وقت تسته!!!

نمونه سوالات نهایی فصل 3

پاسخنامه سوالات نهایی فصل 3

گردآورندگان : گروه آموزشی ریاضی خوزستان

◊ کتاب ریاضی نهم فصل 3

◊ وبسایت آموزشی محمدرضا توکلی مقدم

◊ نمونه سوالات فصل 3 _ بهلول رضایی سرپیری

◊ گروه آموزشی ریاضی دوره اول متوسطه استان خوزستان

◊ درسنامه و نکات کلیدی - مسعود زیرکاری